Modello lineare autoregressivo

In statistica e in teoria dei segnali un modello lineare autoregressivo indicato con AR, o AR(p) dove p è l'ordine del modello, è la rappresentazione di un tipo di processo stocastico; come tale descrive alcuni processi che variano nel tempo come l'economia, ecc. Il modello autoregressivo specifica che la variabile in uscita dipende linearmente dai valori delle uscite precedenti. Si tratta di un caso particolare del modello ARMA più generale delle serie storiche. Matematicamente si presenta così: z t {\displaystyle z_{t}} = ϕ 1 {\displaystyle {\phi _{1}}} z t − 1 {\displaystyle z_{t-1}} + ϕ 2 {\displaystyle {\phi _{2}}} z t − 2 {\displaystyle z_{t-2}} +...+ ϕ p {\displaystyle {\phi _{p}}} z t − p {\displaystyle z_{t-p}} + α t {\displaystyle {\alpha _{t}}} dove i parametri ϕ 1 {\displaystyle \,{\phi _{1}}} , ϕ 2 {\displaystyle {\phi _{2}}} , .., ϕ p {\displaystyle {\phi _{p}}\,} costituiscono i coefficienti della regressione lineare della variabile casuale z t {\displaystyle z_{t}} rispetto ai suoi stessi valori passati, α t {\displaystyle {\alpha _{t}}} è il processo di rumore bianco per cui il termine di errore. In generale, lavorando con processi AR(p), risulta conveniente utilizzare l'operatore backshift B, denominato anche lag operator, che semplifica notevolmente determinate relazioni. Tale operatore si definisce come segue: B X t = X t − 1 {\displaystyle BX_{t}=X_{t-1}} In generale si ha: B m X t = X t − m {\displaystyle B^{m}X_{t}=X_{t-m}} Se si considera una costante, ad esempio, la media μ {\displaystyle \,{\mu }} si ha: B m μ = μ {\displaystyle B^{m}{\mu }={\mu }} Considerando tale impostazione si ha che il processo autoregressivo di ordine 1, AR(1) diviene: ( 1 − ϕ B ) X t = α t {\displaystyle (1-{\phi }B)X_{t}={\alpha _{t}}} Si ha allora: X t = ( 1 − ϕ B ) − 1 α t = ( 1 + ϕ B + ϕ 2 B 2 + . . . . ) α t = α t + ϕ α t − 1 + ϕ 2 α t − 2 + . . . . . {\displaystyle X_{t}=(1-{\phi }B)^{-1}{\alpha _{t}}=(1+{\phi }B+{\phi }^{2}B^{2}+....){\alpha _{t}}={\alpha _{t}}+{\phi }{\alpha _{t-1}}+{\phi ^{2}}{\alpha _{t-2}}+.....} questa serie, si dimostra facilmente, converge per ϕ {\displaystyle {\phi }} minore di 1 che costituisce la condizione di stazionarietà. Il processo AR(1) ha quindi funzione di autocorrelazione ρ k = ϕ k {\displaystyle {\rho }_{k}={\phi ^{k}}\,} la quale tende a zero in modo monotono per ϕ > 0 {\displaystyle {\phi }>0\,} e varia tra -1 ed 1 per ϕ < 0 {\displaystyle {\phi }<0\,}

Parole

Questa tabella mostra l'utilizzo di esempio di elenchi di parole per l'estrazione di parole chiave dal testo sopra.

ParolaFrequenza delle paroleNumero di articolinumero di articoliRilevanza
t3132400.501
ϕ16920.41
phi161780.382
displaystyle2334150.369
z1017940.177

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